Hamiltonian format of Pontryagin's maximum principle

Гамильтонов формат является родным форматом принципа максимума для получения семейства экстремалей произвольной оптимальной задачи, независимо от ее структурных свойств, в частности, независимо от того, регулярна задача или нет.
Он заключается в том, что по оптимальной задаче канонически выписывается гамильтонова система, содержащая управляющие параметры, которая затем решается совместно с условием максимума Понтрягина, позволяющим динамически “исключать” параметры в процессе становления траектории и, при заданных начальных условиях, однозначно определить, вообще говоря, экстремали задачи.
Таким образом, семейство экстремалей оптимальной задачи генерируется принципом максимума в виде решения соответствующей га- мильтоновой системы с параметрами совместно с условием максимума, а не в виде гамильтонова потока, т.е. семейства решений некоторой гамильтоновой системы дифференциальных уравнений, к которой в регулярном случае сводится уравнение Эйлера–Лагранжа в классическом вариационном исчислении. Гамильтонов формат является родным для принципа максимума, в то время как метод Эйлера–Лагранжа сводится к гамильтонову формату лишь в регулярном случае.
В этом заключается одно из основных преимуществ принципа максимума перед методом Эйлера–Лагранжа, даже если ограничиться классическими вариационными задачами, т.е. оптимальными задачами с открытым множеством допустимых значений управляющего параметра. В классическом методе получения экстремалей уравнение Эйлера–Лагранжа, которое не разрешено относительно второй производной, приводится преобразованием к каноническим координатам (т.е. отображением касательного расслоения конфигурационного многообразия на кокасательное расслоение), к гамильтонову (следовательно, к нормальному) виду, что возможно только в случае регулярной вариационной задачи, и тем самым семейство всех решений вариационной задачи (с произвольными начальными данными) включается в поток гамиль- тоновой системы.
Я приведу здесь инвариантную формулировку гамильтонова формата для задачи быстродействия, к которой легко сводится общая оптимальная задача с произвольным минимизируемым функционалом интегрального типа.
Пусть уравнение управляемой системы имеет вид
$$ \frac{dx}{dt}=X(x,u)=X, $$
где $X$ — векторное поле на конфигурационном многообразии $M$, $x\in M$, $u$ — управляющий параметр с множеством допустимых значений $U$. Векторному полю $X$ канонически соответствует скалярнозначная функция на кокасательном расслоении $T^*M$, $H_X=H_X(\xi,u)$, $\xi\in T^*M$, зависящая от параметра $u\in U$, причем она линейна на слоях $T_x^*M\subset T^*M$, $x\in M$. Следовательно, задаче быстродействия канонически соответствует семейство (зависящее от управляющего параметра) гамильтоновых векторных полей $\overrightarrow H_X$ на $T^*M$, определяемое гамильтонианом $H_X$. Таким образом, каждое начальное значение $\xi\in T^*M$, $\xi\notin M$, определяет экстремаль задачи быстродействия как траекторию $\xi(t)$, $\xi(0)=\xi$, гамильтонова поля $\overrightarrow H_X$, из которого “динамически исключается” параметр $u\in U$ с помощью условия максимума
$$ H_X(\xi(t),u(t))=\max_{u\in U}H_X(\xi(t),u). $$
Легко видеть, что гамильтоново поле $H_X$, канонически определенное векторным полем $X$, совпадает с {\it векторным полем $\operatorname{ad}_X$ на кокасательном расслоении $T^*M$}, однозначно определенным условиями
$$ \operatorname{ad}_Xa=Xa \quad \forall\,a\in C^\infty(M), \qquad \operatorname{ad}_XY=[X,Y] \quad \forall\,Y\in\operatorname{Vect}M. $$
Пусть $\mathcal L_X$ производная Ли над полем $X$, т.е. векторное поле на касательном расслоении $TM$, генерирующее поток на $TM$, равный дифференциалу $e_*^{tX}$ потока $e^{tX}$ на $M$,
$$ e^{t\mathcal L_X}=e_*^{tX}. $$
В силу известной двойственности между потоками $e^{t\mathcal L_X}$ и $e^{t\operatorname{ad}_X}$, выраженной тождеством
$$ e^{tX}\langle\omega,X\rangle=\langle e^{t\mathcal L_X}\omega,e^{t\operatorname{ad}_X}Y\rangle \quad \forall\,Y\in\operatorname{Vect}M, \quad \omega\in\Lambda^{(1)}(M), $$
мы имеем
$$ e^{t\operatorname{ad}_X}=(e^{-t\mathcal L_X})^*=(e^{t\mathcal L_X})^{*{-1}}, $$
т.е. поток, генерируемый гамильтоновым полем $\overrightarrow H_X$, является обратным к сопряженному потоку к дифференциалу $e^{t\mathcal L_X}$.
Дифференцирование тождества устанавливает двойственность между $\mathcal L_X$ и $\operatorname{ad}_X$ на инфинитезимальном уровне (обобщенная формула Лейбница):
$$ X\langle\omega,Y\rangle=\langle\mathcal L_X\omega,Y\rangle+\langle\omega,\operatorname{ad}_XY\rangle \qquad \forall\,Y\in\operatorname{Vect}M, \quad \omega\in\Lambda^{(1)}(M). $$
Сказанным гамильтонов формат принципа максимума полностью описан. В то время как производная Ли $\mathcal L_X$ и задаваемый им поток — дифференциал $e^{t\mathcal L_X}=e_*^{tX}$ потока $e^{tX}$, являются, в той или иной форме, частью каждодневной математической практики, двойственное к $\mathcal L_X$ (гамильтоново) поле $\overrightarrow H_X=\operatorname{ad}_X$ было введено Л. С. Понтрягиным как основной вычислительный инструмент для отыскания произвольных оптимальных режимов лишь в 1956 году под названием “сопряженной системы”, и в настоящее время представляет, наряду с условием максимума, основу для всех рассчетов, связанных с варьированием траекторий в оптимизационных задачах.
В честь отмечаемого нами столетия со дня рождения Л. С. Понтрягина, было бы естественным назвать векторное поле $\operatorname{ad}_X$, (рассматриваемое именно как поле на $T^*M$, а не как дифференцирование $C^\infty(M)$ — модуля $\operatorname{Vect}M$, или представление алгебры Ли $\operatorname{Vect}M$ на себя), производной Понтпрягина.