Вероятности достижения для систем стохастических дифференциальных уравнений: обзор

Мы рассматриваем случайное поле размерности $d$, являющееся решением возможно нелинейной системы стохастических дифференциальных уравнений, таких как стохастические уравнения теплопроводности и волновые уравнения. Мы расскажем о верхней и нижней границах для вероятностей достижения этим полем неслучайного множества в $\mathbb{R}^d$ в терминах соответственно хаусдорфовой меры и ньютоновского объема. Эти границы определяют критическую размерность, при превышении которой точки становятся полярными, но не определяют вообще говоря являются ли точки полярными в критической размерности. Для линейной системы стохастических уравнений в частных производных, в совместной работе с Карлом Мюллером и Юимин Ксяо мы определяем природу полярности точек для критической размерности. Кроме того, мы ставим вопрос о существовании кратных точек в критических размерностях.