Комбинаторика семейств многогранников и приложения. Занятие 1

Мини-курс посвящен семействам трёхмерных многогранников, играющих важную роль в разных задачах алгебраической и дифференциальной топологии, гиперболической геометрии, теории графов. В центре внимания будут семейства А и В. Теория многогранников, принадлежащих пересечению этих семейств, стала особенно актуальной благодаря приложениям в задачах физики, химии, кристаллографии, медицины и нанотехнологий.
Семейство А состоит из простых 3-многогранников с не более, чем 6-угольными гранями, а семейство В — из простых 3-многогранников, отличных от симплекса и не содержащих 3- и 4-поясов из граней.
В работе Ф.Кардоша (2014 г.) получено доказательство известной гипотезы Д.Барнета о том, что на каждом многограннике семейства А существует гамильтонов цикл, т.е. простой реберный цикл, проходящий через все вершины. Обратим внимание, что каждый гамильтонов цикл определяет раскраску границы многогранника в 4 цвета!
Согласно результатам А.В.Погорелова (1967 г.) и Е.М.Андреева (1970 г.) каждый многогранник семейства В допускает реализацию в виде ограниченного многогранника с прямыми двугранными углами в 3-мерном пространстве Лобачевского $L^3$. Обратим внимание, что такая реализация единственна с точностью до изометрии! Каждый многогранник семейства В является фундаментальной областью разбиения пространства $L^3$ при помощи отражений относительно плоскостей, несущих грани этого многогранника.
В химии фуллереном называется сферическая молекула углерода, у которой каждый атом принадлежит ровно 3 углеродным кольцам, и каждое кольцо состоит из 5 или 6 атомов. Впервые фуллерен был синтезирован в в лаборатории Р.Кёрлом, Г.Крото и Р.Смолли в 1985 г. (Нобелевская премия по химии 1996 г.)
Математическим фуллереном (далее, короче, фуллереном) называется простой выпуклый 3-многогранник, гранями которого являются только 5- и 6-угольники. Доказано, что каждый фуллерен лежит в пересечении семейств А и В.
В недавнем цикле работ В.М.Бухштабера и Н.Ю.Ероховца было получено описание комбинаторики семейств многогранников А и В. Показано, что для семейства фуллеренов имеют место более сильные результаты, чем для семейств А и В.
Мини-курс рассчитан на широкую аудиторию. Желательно, чтобы слушатели были знакомы с трёхмерными многогранниками и графами. Все основные понятия, необходимые для понимания формулировок результатов и идей их доказательств, будут представлены в ходе изложения.