Теорема Гудвилли о рациональной K-теории нильпотентных расширений

Алгебраическая $K$-теория Квиллена - очень интересный инвариант кольца, однако рекордно сложный для вычисления, поэтому любые продвижения в этом направлении высоко ценятся. В качестве приближений можно попробовать отобразить $K$-теорию во что-то более понятное, например, воспользоваться отображением следа в гомологии Хохшильда $HH$. На самом деле, это отображение пропускается через инварианты естественного действия $S^1$ на $HH$ — отрицательные циклические гомологии $HC^-$. Хотя в общем случае $HC^-$ не являются достаточно сильным инвариантом для сравнения с $K$-теорией, в конце 80х Томас Гудвилли показал, что для нильпотентного расширения колец (т.е. сюръективного гомоморфизма с нильпотентным ядром) отображение следа индуцирует эквивалентность соответствующих относительных теорий тензор $\mathbb Q$. В своих докладах я расскажу доказательство теоремы Гудвилли и посчитаю с её помощью рациональную относительную K-теорию в нескольких примерах.