Об интерпретациях арифметики Пресбургера в самой себе

Арифметика Пресбургера — это элементарная теория натуральных чисел с единственной операцией сложения $(\mathbb{N},+)$. Мы доказываем, что всякая интерпретация арифметики Пресбургера в стандартной модели $(\mathbb{N},+)$ даёт модель, изоморфную стандартной. Для доказательства этого устанавливается, что все линейные порядки, интерпретируемые в $(\mathbb{N},+)$, разрежены. Более того, доказывается, что ранги Хаусдорфа интерпретируемых в $(\mathbb{N},+)$ линейных порядков конечны. Также в докладе будет рассмотрен ряд других вопросов. В частности, доказывается, что для всякой $k$-мерной интерпретации арифметики Пресбургера изоморфизм между $(\mathbb{N},+)$ и интерпретируемой моделью всегда является кусочно-полиномиальной функцией $\mathbb{N}^k\to\mathbb{N}$, с конечным числом кусков, являющихся определимыми в $(\mathbb{N},+)$ множествами.