Критические точки функций, их классификация, распадения и вырождения. Занятие 1

Критические точки дифференцируемых функций — это точки, в которых обращаются в ноль первые производные эти функций. В частности, критическими обязательно являются точки минимума или максимума, но есть и более сложные примеры: простейшие из них даются функциями $x^n$ от одной переменной. Первая тема курса — классификация критических точек (в том числе для функций от нескольких переменных).
Сложные критические точки естественно возникают в разнообразных физических задачах, описываемых семействами функций, зависящих от параметров. При этом в пространстве параметров вблизи значений параметра, соответствующих более сложным функциям, обязательно имеются значения, соответствующие более простым, получающимся из них небольшим шевелением. В результате пространство параметров разбивается на множества, соответствующие критическим точкам разных типов, а также разным геометрическим типам функций. Их изучение приводит к многочисленным задачам, от совершенно элементарных до нерешенных.