Сильная асимптотика ортогональных многочленов и спектральные свойства бесконечных якобиевых матриц

Одним из основных методов при решении задачи эффективного аналитического продолжения степенного ряда за пределы его круга сходимости является классический метод разложения этого степенного ряда в непрерывную дробь. Фундаментальные результаты в этом направлении были получены еще в конце XIX века в работах Чебышёва, Маркова, Стилтьеса.
Впоследствии оказалось, что эти и другие результаты теории аналитического продолжения допускают естественную интерпретацию и обобщение в терминах аппроксимаций Паде – локально наилучших рациональных приближений степенного ряда.
Исследование сходимости диагональных аппроксимаций Паде для функций из некоторых естественных классов, как правило, опирается на формулы сильной асимптотики для знаменателей таких рациональных аппроксимаций — неэрмитово ортогональных многочленов. Оказалось, что сильная асимптотика этих многочленов может быть полностью описана в терминах решения специальной краевой задачи Римана на некоторой двулистной римановой поверхности.
В свою очередь, трехчленное рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют такие ортогональные многочлены, порождает бесконечную якобиеву матрицу, свойства которой тесно связаны с асимптотикой ортогональных многочленов.