$H$-теорема по Больцману и Пуанкере

$H$-теорема впервые была рассмотрена Больцманом в [1]. Эту теорему, обосновывающую сходимость решений уравнений типа Больцмана к максвелловскому распределению, Больцман связал с законом возрастания энтропии [2]. Доказательство $H$-теоремы не только обосновывает 2-е начало термодинамики, но и делает поведение решения уравнения понятным, так как позволяет узнать, куда сходится решение для данного уравнения при времени, стремящемся к бесконечности.
Мы рассматриваем обобщения уравнений химической кинетики, включающие в себя классическую и квантовую химическую кинетику [3].H-теорема для этих обобщений уравнений химической кинетики: (2) и (3), в случае непрерывного времени исследовалась [3]. Были изучены обобщенное условие детального равновесия (баланса) и обобщённое условие динамического равновесия (или обобщенное условие Штюккельберга–Батищевой–Пирогова), при выполнении которых справедлива H-теорема. В работах [4], [5] было показано, как выполняется закон роста энтропии для уравнений Лиувилля: энтропия временного среднего больше или равна энтропии начального распределения, хотя вдоль решения она сохраняется. В работах [6], [7] показано, что временные средние для уравнения Лиувилля совпадают с экстремалью Больцмана, там, где достигается условный максимум энтропии при фиксированных законах сохранения. Мы доказываем это совпадение для представлений групп, вводя энтропию и изучая ее свойства в теории представлений. Потом мы выясняем, что дает это для эргодической проблемы, получая обобщение и уточнение эргодических теорем Рисса, Биркгофа-Хинчина, фон Неймана и Боголюбова с единой точки зрения.
Доклад основан на совместной работе с С.З.Аджиевым и В.В.Казанцевой
Список литературы
1. Л. Больцман, “Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа”, Избранные труды, Наука, М., 1984, 125–189.
2. Л. Больцман, “О связи между вторым началом механической теории теплоты и теорией вероятностей в теоремах о тепловом равновесии”, Избранные труды, Наука, М., 1984, 190–235.
3. В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев, “Энтропия по Больцману и Пуанкаре”, УМН, 69:6(420) (2014), 45–80.
4. Пуанкаре А., Замечания о кинетической теории газов., Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 3. Наука, М., 1974.
5. Козлов В.В., Трещев Д.В., Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем., ТМФ. 2003. 134:3. С.388–400.
6. Веденяпин В., В., Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову., Конспект лекций. МГОУ, М., 2005.
7. Веденяпин В., В., Временные средние и экстремали по Больцману., Доклады Академии Наук, 2008, том 422, №2, с.161-163.