Среднее число пересечений тригонометрических плоских кривых в $L_2$ или $W_2^r$-статистике

Вычисляется среднее число точек пересечения пары случайных кривых, заданных тригонометрическими многочленами степени $N$ с $L_2$-или соболевской нормой, не превосходящей фиксированного числа. Для $L_2$-задачи ответ оказывается рациональным числом, растущим квадратично по $N$, а для соболевских норм с $r>1$ ответ ограничен по $N$. Будет описано также среднее число самопересечений одной кривой: в этом случае ответ выглядит намного хуже. Кроме того, я надеюсь, что слушатели помогут обсудить, как надо правильно представлять себе случайную кривую и усредненное значение ее топологических характеристик.