Аннотация:
Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом
$$
\zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
$$
при тех значениях $s$, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана — так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению $x=0$).
Приблизительная программа курса:
Дзета-функция Римана и произведение Эйлера. Гипотеза о нулях дзета-функции.
Гауссовы числа и их дзета-функция. Количество представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов.
Дзета-функция квадратичного поля и представления чисел в виде $x^2+dy^2$
при фиксированном $d$.
Арифметическая дзета-функция, локальная дзета-функция и гипотезы Вейля (=Теоремы Делиня).
Эллиптические кривые и гипотеза Бёрча и Свиннертона–Дайера.
К-группа многообразий и мотивная дзета-функция.
Ожидается, что слушатели знают, что такое сумма ряда (хотя бы на интуитивном уровне), встречались с комплексными числами и конечными полями (хотя бы с полем из $p$ элементов, где $p$ — простое).
Обратная связь: