Полтора. Занятие 1

Бывают объекты непрерывные, а бывают дискретные. Например, размерность пространства. Она дискретна: пространства бывают одномерные, двумерные, трехмерные… А вот размерности «полтора» не бывает. Или бывает?
Оказывается, дискретные объекты иногда можно обобщить до непрерывных, и на первой половине курса мы разберем несколько конкретных примеров. Начав с совсем тривиальной арифметики, мы быстро дойдем до таких «странных» вещей, как дробные производные, а на второй лекции разберем красивый пример из алгебраической геометрии. Эти примеры проиллюстрируют один общий рецепт нетривиальных обобщений: если суметь переговорить привычные понятия на другом языке, то «сложные» операции могут стать простыми, и наоборот.
А во второй половине я расскажу, как этот рецепт позволяет подступиться к очень глубокой проблеме современной… биологии. За последние 10 лет в микробиологии произошла настоящая революция, и по мере того, как мы все больше узнаем о микроорганизмах, привычные дискретные понятия «вида» и «организма» становятся все более размытыми. Биология не знает, как правильно обобщить эти понятия до непрерывных, причем вопрос отнюдь не праздный: сегодня эта проблема особенно остро встает при изучении микробных сообществ, представляющих прямой медицинский интерес.
Следуя нашему «рецепту», мы попробуем придумать «другой язык» для описания динамики экосистемы. А именно, вместо численности популяций и количества видов мы задумаемся о свойствах «спектра релаксации» (предварительно определив, что это такое). Мы увидим, что экосистему с двумя видами можно непрерывно перевести в такую, где видов уже три. Причем сделать это можно разными способами, один из которых на промежуточном этапе похож на «два с половиной вида», а другой совсем не похож.
Первые три лекции будут доступны всем. На последней лекции мне придется использовать слова «собственный вектор» и «собственное значение», а также написать пару простых дифференциальных уравнений. Тем не менее, я надеюсь, что на некотором интуитивном уровне происходящее будет понятно и школьникам.

План курса
Лекция 1. Арифметика, алгебра, анализ: дробные числа, дробные степени, дробные производные.
Лекция 2. Алгебраическая геометрия: может ли точек быть больше одной, но меньше двух?
Лекция 3. Проблема «вида» и «организма»; примеры из биологии, заставляющие задуматься.
Лекция 4. Экосистема из «полутора» видов. Гладкая интерполяция между одним организмом и двумя.