Тонкий шейп и теоремы единственности для гомологий и когомологий польских пространств

Теория шейпов занимается алгебраическими инвариантами общих пространств, определяемыми с помощью их полиэдральных аппроксимаций. Простейшие примеры таких инвариантов - это чеховские когомологии (Понтрягин, 1931) и стинродовские гомологии (Стинрод, 1940) компактов, удовлетворяющие теореме единственности (Милнор, 1961) относительно обычных аксиом Стинрода-Эйленберга вместе с сильной аксиомой вырезания Уоллеса и аксиомой аддитивности Милнора. При этом известно, что сильная аксиома вырезания эквивалентна усиленной форме аксиомы гомотопии, состоящей в сильношейповой инвариантности. Сильный шейп компакта - это в точности то, что о нём можно сказать, исходя из гомотопических типов его полиэдральных аппроксимаций и гомотопических классов отображений между ними. Сильный шейп компактов возник в диссертации Кристи (под руководством Лефшеца), опубликованной в 1944г., но оставался незамеченным около 30 лет, пока его не переоткрыли Борсук (в ослабленной форме, получившей название "шейп"), Кодама и Красинкевич (которые учли поправку на lim^1).
О теориях гомологий и теориях шейпов более общих пространств было произведено огромное количество литературы, не давшей, однако, вполне удовлетворительных результатов ни для каких пространств, кроме компактов. Цель доклада - наконец получить такие результаты в случае польских пространств.
Для некомпактных метрических пространств имеются стандартные обобщения чеховских когомологий (Даукер, 1950) и стинродовских гомологий (Ситников, 1954), однако разумные теоремы единственности для них были получены лишь в локально компактном случае (Скляренко, Петкова, 1970-е). Мы покажем, что чеховские гомологии и стинродовские гомологии польских пространств удовлетворяют теореме единственности относительно аксиом Стинрода-Эйленберга и аксиомы аддитивности, выражающей (ко)гомологии всякой замкнутой пары польских пространств (X,Y), такой что X-Y гомеоморфно счётному дизъюнктному объединению пространств A_i, i\in N, в терминах (ко)гомологий этих A_i, с использованием некоторой фильтрации \kappa_X (соотв. \nu_X) на счётном индексном множестве N.
Для некомпактных метрических пространств также известны различные теории шейпов: теория Борсука, основанная на счётных последовательностях аппроксимаций (притом, что они не могут быть конфинальными), теория Фокса, основанная на (несчётных) обратных спектрах аппроксимаций, а также "компактно порождённые" варианты этих теорий, которые соответствуют когомологиям с компактным носителем и локально конечным гомологиям. Точнее, стоило бы говорить о соответствующих теориях сильного шейпа. Все эти 4 теории попарно различны. Теория Борсука по понятным причинам считается неудачной; однако, как указал Скляренко (1995), теорию Фокса тоже рано считать удачной, пока для неё не доказана инвариантность стинродовских гомологий. (Впрочем, есть причины ожидать, что это утверждение об инвариантности не зависит от аксиом ZFC.)
Используя некоторые обобщения фильтраций \kappa_X и \nu_X, мы определим ещё две теории шейпов для метрических пространств (обычную и "компактно порождённую") которые, как оказывается, совпадают друг с другом в силу некоторой интересной двойственности. Стинродовские гомологии и чеховские когомологии оказываются инвариантами этого "тонкого шейпа". Построенную теорию можно считать "исправлением" теории Фокса посредством учёта некоторой естественной топологии на несчётном индексном множестве обратного спектра. В некотором смысле она "исправляет" и теорию Борсука, поскольку индуцированная топология на счётных подпоследовательностях дискретна и стало быть ничего не меняет для них. Таким образом, новая теория шейпов заменяет сразу все предыдущие, а также "закрывает" проблему Скляренко (не решая её).