О сходимости обобщенных цепных дробей и гипотезе Рамануджана

Рассматривается цепная дробь вида
\begin{equation} \cfrac{-a_1}{1-\cfrac{a_2}{1-\cfrac{a_3}{1-\cdots}}} \tag{1} \end{equation}
с вещественными коэффициентами $a_i$, сходящимися к некоторому пределу $a$.
С. Рамануджан утверждал, что если $a\ne\frac14$, то цепная дробь (1) сходится, если и только если $a<\frac14$.
В дальнейшем было доказано (Van Vleck, 1904), что дробь сходится для комплексных $a_i$, $a_i\to a\in\mathbb C\setminus[\frac14,+\infty)$, и расходится в случае, когда $a_i\in\mathbb R$, $a_i\to a>\frac14$ достаточно быстро (J. Gill, 1973), точнее, если
\begin{equation} \sum_i|a_i-a|<\infty. \tag{2} \end{equation}
Гипотеза Рамануджана, утверждающая, что дробь (1) расходится всегда при $a_i\to a>\frac14$, оставалась открытой до недавнего времени. Мы покажем, что она неверна: для всякого $a>\frac14$ существует последовательность $a_i\to a$ такая, что дробь (1) сходится. Кроме этого, мы покажем (для некоторого плотного подмножества значений $a>\frac14$), что предыдущее достаточное условие (2) для расходимости дроби является оптимальным условием на скорость сходимости коэффициентов.
Исследование сходимости цепных дробей связано, например, с теорией аналитических функций. В параллельной работе А. Цыгвинцев построил (совершенно другим способом) красивый явный пример последовательности $a_i\to1$, отвечающей сходящейся дроби (1) и задаваемой простой рекуррентной формулой. Этот пример происходит из теории аналитических функций.