Какими уравнениями задаются линейные алгебраические группы?

В 1966 г. Д. Мамфорд нашел задание координатной алгебры абелева многообразия образующими и соотношениями, канонически определенное групповой структурой. Я расскажу о решении аналогичной задачи для координатных алгебр аффинных алгебраических групп. Оно основано на решении двух проблем, поставленных в 1992 г. Д. Флэтом и Дж. Таубером. С точки зрения этой теории обычное наивное представление $SL(n)$ в виде гиперповерхности $det=1$ в $n^2$-мерном аффинном пространстве дает правильный ответ только при $n<3$: например, каноническое задание координатной алгебры группы $SL(n)$ образующими и соотношениями представляет $SL(3)$ в виде пересечения двух однородных и двух неоднородных квадрик в $12$-мерном аффинном пространстве, $SL(4)$ — в виде пересечение двадцати однородных и трех неоднородных квадрик в $28$-мерном аффинном пространстве и т.д.