О величине $P(x)$

В докладе будут представлены некоторые сравнительно недавние результаты о свойствах величины $P(x)$ – остаточного члена в задаче о числе целых точек в круге. Также будет сформулирован ряд гипотез, касающихся поведения величины $P(x)$ на коротких (длины $\asymp \sqrt{x}$) интервалах. Современный интерес к рассматриваемым задачам связан с теорией квантового хаоса и гипотезы универсальности.