Аннотация:
Одним из обобщений гипергеометрической функции Гаусса $F(a, b; c; z)$
на случай многих комплексных переменных $(z_{1}, \dots, z_{N}) =: \mathbf{z}$
является функция Лауричеллы $F_{D}^{(N)}\, (\mathbf{a}; b, c; \mathbf{z}\,)$,
определяемая с помощью $N$–кратного ряда (см. [1], [2]):
$$
F_{D}^{(N)}\,(\mathbf{a}; b, c; \mathbf{z}\,)=\sum\limits_{|\bf{k}| = 0}^{\infty}
\,\frac{(b)_{|\bf{k}|} (a_{1})_{k_{1}} \cdots (a_{N})_{k_{N}}}
{(c)_{|\bf{k}|} k_{1}! \cdots k_{N}!}z_{1}^{k_{1}} \cdots z_{N}^{k_{N}},\,
$$
где $b$ и $c \notin \mathbb{Z}^{-}$ – скалярные (комплексные) параметры,
$\mathbf{a} = (a_{1}, \dots, a_{N})$ – векторный параметр,
$\mathbf{k} = (k_{1}, \dots, k_{N})$ – целочисленный векторный индекс
суммирования с неотрицательными компонентами.
Приведенный ряд для функции Лауричеллы
сходится в единичном поликруге $\mathbb{U}^{N}$.
В работе построена система формул аналитического продолжения
функции $F_{D}^{(N)}$ в $N$–мерное комплексное пространство
при произвольном числе переменных (см. [3]).
[1] G. Lauricella, Sulle funzioni ipergeometriche a piu variabili.
Rendiconti Circ. math. Palermo. 7 (1893). P. 111 – 158.
[2] H. Exton, Multiple hypergeometric functions and application.
N.-Y., J. Willey & Sons inc., 1976.
[3] С.И. Безродных, Формулы аналитического продолжения и соотношения типа Якоби для
функции Лауричеллы. Доклады РАН. 467:1 (2016) С. 7 – 12.
Обратная связь: