Особенности и ренормальные формы поднятых векторных полей

Доклад посвящен особым точкам систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных (размерности более 1). В отличие от одномерного случая, подробно исследованного многими авторами (В. И. Арнольд, А. А. Давыдов, L. Dara, J. Bruce, D. Fidal, F. Tari и многие другие), многомерный случай изучен значительно меньше (исключением здесь являются, пожалуй, так называемые «соболевские» системы, когда во все уравнения все производные входят линейным образом). В одномерном случае все упомянутые выше авторы использовали красивый и эффективный метод, придуманный Пуанкаре (в его третьем мемуаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями») — поднятие уравнения на поверхность.
Для изучения систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных, вполне естественно воспользоваться этим же методом. Специфика многомерного случая при этом проявляется в том, что на соответствующей поверхности возникают векторные поля специального вида (они называются «поднятыми»). А именно, первые две компоненты векторного поля (назовем их $v$ и $w$) являются независимыми функциями, а остальные принадлежат идеалу, порожденному $v$ и $w$ в кольце гладких функций. Особые точки такого поля образуют гладкое многообразие коразмерности 2 в фазовом пространстве. При малых возмущениях исходной задачи многообразие особых точек не исчезает и не вырождается, а лишь деформируется. Спектр линеаризации поднятого поля в особой точке имеет два ненулевых собственных значения, а остальные — нули (особая точка — частично гиперболическая). Если эти ненулевые собственные значения не являются чисто мнимыми, то из теоремы сведения (Шошитайшвили) сразу же следует, что поднятое поле локально топологически эквивалентно произведению стандартного двумерного седла или узла и тривиальной системы (правая часть тождественно равна нулю). Однако вопрос о гладкой классификации поднятых полей сложнее. С помощью теорем В. С. Самовола удается получить локальные конечно-гладкие ренормальные формы и первые интегралы поднятых векторных полей. В заключение в качестве иллюстрации рассматриваются поднятые векторные поля, порожденные уравнениями Эйлера–Лагранжа и Эйлера–Пуассона.