О комбинаторном потоке Риччи на двумерных поверхностях

После фундаментальной работы Гамильтона 1982 года Three-manifolds with positive Ricci curvature естественно возник вопрос об исследовании потока Риччи на двумерных поверхностях. Эта размерность поддаласть относительно просто: в 1986 Гамильтон анонсировал, а 1988 году опубликовал доказательство теоремы сходимости потока Риччи к метрике постоянной кривизны для любых начальных условий для произвольной замкнутой поверхности, отличной от сферы; в 1991 году Беннет Чоу закрыл вопрос, доказав, что для двумерной сферы имеет место аналогичное утверждение.
Затем в 2003 году Чоу и Луо исследовали один из возможных вариантов дискретизации потока Риччи. Этот вариант дискретизации использует в качестве постоянных данных замкнутую поверхность, ее триангуляцию и веса на ребрах триангуляции. Для такого объекта определяется понятие circle packing метрики, определяется ее кривизна, а также поток Риччи для метрик такого типа. Этот вариант интересен тем, что используемые в нем метрики связаны с упаковками кругов и их обобщениями, которые изучал Терстон в неопубликованной книге Geometry and topology of 3-manifolds.
Чоу и Луо доказали, что при определенных условиях на веса для любой начальной метрики поток Риччи сходится к метрике постоянной кривизны. Среди прочего в их результатах требовалась неотрицательность весов.
Р. Пепа и докладчик недавно сумели ослабить требование положительности весов: некоторым весам разрешается быть отрицательными, но удовлетворяющими определенным условиям. Кроме того, нам удалось показать, что это ослабление не может быть произвольным - имеются примеры повехностей, на которых при "неаккуратном" выборе весов возникают несколько различных метрик постоянной кривизны, причем некоторые из них являются седловыми точками потока Риччи. В докладе будет дан обзор результатов Чоу, Луо и других авторов, а также будут представлены наши последние результаты.