О полиномиально интегрируемых плоских бильярдах

Алгебраическая версия знаменитой гипотезы Бирхгофа (частично исследованная С. В. Болотиным, А. Е. Мироновым, М. Бялым) утверждает, что если бильярд в выпуклой области на плоскости имеет нетривиальный первый интеграл, полиномиально зависящий от вектора скорости (и не выражающийся через модуль скорости), то граница бильярдной области является эллипсом. Мы представим ее решение, являющееся результатом двух работ: 1) работы М. Бялого и А. Е. Миронова об угловых бильярдах; 2) свежей работы докладчика, со значительным вкладом Е. И. Шустина. А также решение ее аналога для внешних бильярдов, сформулированного и частично исследованного С. Л. Табачниковым (совместный результат Е. И. Шустина и докладчика).
Их доказательства используют идеи и методы комплексной теории особенностей и алгебраической геометрии. Буден представлен обзор результатов по исследованию общей, неалгебраической гипотезы Бирхгофа об интегрируемых бильярдах.