Закон арксинуса для ветвящихся процессов в случайной среде и для процессов Гальтона–Ватсона

Показано, что распределение времени, в течение которого критический ветвящийся процесс в случайной среде находится выше некоторого уровня (при условии, что этот уровень достигается), сходится к закону арксинуса, когда уровень стремится к бесконечности. С этим утверждением связано следующее свойство критического ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона: при условии, что к моменту $t$ процесс не выродился, распределение доли численности частиц будущих поколений в общем числе частиц сходится к закону арксинуса, когда $t$ стремится к бесконечности.