Вычисление сложных асимптотических разложений решений уравнений Пенлеве

В 2004 г. я предложил способ вычисления асимптотических разложений решений полиномиального ОДУ [1]. Он позволял вычислять степенные и степенно-логарифмические разложения, в которых коэффициенты при степенях независимой переменной $x$ являются либо постоянными, либо многочленами от логарифма. Позже оказалось, что у таких уравнений асимптотические разложения могут иметь в качестве коэффициентов при степенях $x$ ряды Лорана либо по убывающим степеням логарифма $x$, либо по мнимым степеням $x$ – соответственно сложные [2] и экзотические [3] разложения. Для их вычисления методы из [1] не удобны. Теперь я разработал метод составления ОДУ для каждого коэффициента такого ряда. Эти уравнения содержат младшие и высшие вариации от определённых частей исходного уравнения. Первый коэффициент сложного разложения является решением укороченного уравнения, и, вообще говоря, является рядом Лорана по логарифмам. Но для некоторых уравнений он оказывается полиномом. Возникает вопрос: будут ли следующие коэффициенты полиномами? Этот вопрос я рассмотрел для двух уравнений Пенлеве. Ибо из шести уравнений Пенлеве три имеют сложные разложения решений – это P3, P5 и P6. Первые коэффициенты этих разложений известны и все являются полиномами [4]. Оказалось, что во всех случаях уравнений P3 и P6 второй коэффициент также полином, но третий коэффициент является полиномом либо всегда, либо при некоторых условиях на параметры уравнения, либо никогда.
1. А.Д. Брюно // УМН, 2004, Т. 59, № 3, С. 31-80. 2. А.Д. Брюно // ДАН, 2006, Т. 406, №6, С. 730-733. 3. А.Д. Брюно // ДАН, 2007, Т. 416, №5, С. 583-587. 4. А.Д. Брюно // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша , 2011, №15 http://keldysh.ru/papers/2011/source/prep2011_15.pdf