О количестве слов данной длины, не содержащих $\alpha$-степеней - I

Пусть $X$ — слово в алфавите $\mathcal{A}$, а $\alpha$ – положительное число, тогда слово $Y$ называется $\alpha$-степенью если $Y$ может быть записано в виде $Y=X^rX_1$, где слово $X_1$ есть начало слова $X$, и для длин слов выполнено неравенство $|Y|\geqslant\alpha |X|$. Известно, что для любого $\alpha>2$ в двубуквенном алфавите существует бесконечно много слов, не содержащих $\alpha$-степеней. В докладе будет рассказано о том, что при любом $\alpha>7/3$ существует экспоненциально много двубуквенных слов длины $n$, не содержащих $\alpha$-степени, а при любом $\alpha\leqslant 7/3$ лишь полиномиальное число таких слов.
(Доклад по совместной работе Карумяки и Шаллита 2003 года).