Гипотеза Хорна и правило Литтлвуда–Ричардсона

Рассмотрим сумму двух эрмитовых матриц $A$ и $B$. Это снова будет эрмитова матрица. В 1912 году Герман Вейль задался таким вопросом: что можно сказать о ее собственных значениях, если известны собственные значения матриц $A$ и $В$? Во-первых, ясно, что след $A+B$ будет равен сумме следов исходных матриц; во-вторых, наибольшее собственное значение $A+B$ не превосходит суммы наибольших собственных значений $A$ и $B$. А какие еще есть ограничения?
В 1962 году Альфред Хорн выписал ряд неравенств на собственные значения матриц $A$, $B$ и $A+B$ и сформулировал гипотезу о том, что это полный набор условий. В 1999 году А. А. Клячко свел эту гипотезу к так называемой гипотезе о насыщении, которая вскоре после этого была доказана Алленом Кнутсоном и Терри Тао. Они же предложили описание неравенств Хорна при помощи комбинаторных диаграмм, называемых сотами (honeycombs).
Эти диаграммы – и неравенства Хорна – имеют самое прямое отношение к теории представлений полной линейной группы $GL(n)$, а также к исчислению Шуберта на грассманианах. Они, в частности, позволяют свести задачу о разложении тензорного произведения двух представлений $GL(n)$ на неприводимые компоненты к чисто комбинаторной задаче подсчета “пазлов” – замощений треугольника элементами мозаики определенного вида. Это дает новую интерпретацию такого классического комбинаторного сюжета, как правило Литтлвуда–Ричардсона. Я постараюсь объяснить, как связаны между собой эти задачи, а если останется время, расскажу о других геометрических задачах, в которых возникают соты и пазлы.