Операторы Нийенхейса и их особые точки

Операторы Нийенхейса - операторные поля с нулевым кручением Нийенхейса - возникают в разных геометрических задачах: римановой геометрии, интегрируемых системах, почти-комплексных многообразиях и многих других. Локально, в окрестности неособой точки такие поля устроены понятным и хорошо известным способом.
При этом глобальное строение полей Нийенхейса - вопрос почти не изученный. В докладе будет рассказано о результатах, полученных автором в этом направлении. Выяснилось, что касательное пространство в особой точке поля Нийенхейса несет естественную структуру левосимметрической алгебры (этот объект был открыт Э.Б.Винбергом при изучении плоских левоинвариантных связностей на группах Ли и возникает здесь совершенно в другом контексте). Более того, в некоторых случаях информации, которую несет алгебра, достаточно для решения вопроса о линеаризации оператора Нийенхейса в целой окрестности особой точки. Эффективность этого подхода удалось продемонстрировать в двумерном случае, где автор смог решить вопрос о линеаризации оператора Нийенхейса в окрестности особой точки в зависимости от типа левосимметрической алгебры в этой самой точке.
В двумерном случае для особых точек полей Нийенхейса можно определить индекс и для компактных многообразий без края оказывается верна теорема Хопфа. Кроме этого, изолированные особые точки оказываются устроены особым образом - они представляют собой полюса. В связи с этим формулируется гипотеза: индексы особых точек могут быть равны только $0$, $1/2$ и $1$.