Системы Габора и спектральный синтез в пространстве Фока

Пусть $G_\Lambda$ - система из сдвигов и модуляций Гауссиана $e^{-\pi t^2}$ в $L^2(\mathbb{R})$. Хорошо известно, что такая система (система Габора) не может быть базисом Рисса. С другой стороны, есть много систем Габора, ряд Фурье по которым допускает линейный метод суммирования. Мы построим полные и минимальные системы Габора, которые не обладают свойством спектрального синтеза (наследственной полноты) и, следовательно, не допускают линейного метода суммирования. Тем не менее, оказывается, что любая такая система очень близка к синтезируемой. А именно, обе эти задачи удобно решать в пространстве Фока (унитарном образе $L^2(\mathbb{R})$ при преобразовании Баргмана), так как сдвиги Гауссиана переходят в воспроизводящие ядра.
Нетрудно показать, что для сдвигов и модуляций произвольной функции дефект может быть какой угодно (даже бесконечномерным).
Доклад основан на совместной работе с А. Барановым и А. Боричевым.