Эквивариантные гомологии аффинного Грассманна и цепочка Тоды

Для простой комплексной группы $G$ с аффинным Грассманнианом $Gr_G=G(C((t)))/G(C[[t]])$ мы изучаем гомологии, эквивариантные относительно вращения петли, $H^{G[[t]]\times C^*}(Gr_G)$. Они образуют алгебру с операцией свертки, с коммутативной подалгеброй $H^G(\cdot)$. Эту пару алгебр можно отождествить с квантованием Каждана Костанта цепочки Тоды для двойственной по Ленглендсу группы $\check G$. Она действует сверткой на эквивариантных гомологиях «локального» варианта полубесконечного пространства флагов группы $G$. Архипов–Капранов отождествили эти гомологии с эквивариантными квантовыми гомологиями пространства флагов $G/B$. Упомянутое выше действие эквивариантных гомологих аффинного Грассманна — не что иное как квантовый $D$-модуль Гивенталя.