Многомерные функции Хаара и регулярные замощения пространства

Система функций Хаара на прямой является простейшим примером всплесков с двоичным коэффициентом растяжения, порожденных масштабирующей функцией – характеристической функцией отрезка [0,1]. Обобщением этой конструкции на функции нескольких переменных являются системы Хаара с произвольной целой матрицей растяжения. В этом случае, однако, конструкция становится значительно сложнее. Так, вместо отрезка [0,1] возникают специальные компакты ("тайлы"), целые сдвиги которых без перекрытий замощают пространство. Большинство тайлов имеют фрактальные свойства, они изучались во множестве работ (Лагариас, Грехениг, Вонг, Хейль, Кабрелли, Молтер, Хан, и др.) Проблема гладкости многомерных функций Хаара (показатели Гельдера в $L_2$ или показатели Соболева), которая в одномерном случае тривиальна, уже в $R^2$ вызывает серьезные трудности. До сих пор ответ был получен лишь для частных случаев матриц растяжения. Недавно мы в совместной работе с М.Шариной вывели явную формулу для показателей гладкости. Она оказалась тесно связанной с с топологическими характеристиками тайлов (хаусдорфова размерность границы, контент Минковского), а также, довольно неожиданно, с известной задачей дискретной математики о синхронизации автоматов (проблема Черны).