Совместные спектральные характеристики матриц

Каждому конечному семейству n x n-матриц соответствуют его совместные спектральные характеристики – показатели асимптотического роста норм длинных произведений этих матриц (повторы в произведениях допускаются). Для одной матрицы все характеристики совпадают с ее спектральным радиусом, но уже для двух матриц получается содержательная теория. Совместные спектральные характеристики были введены в начале 1960 гг. независимо Фюрстенбергом, Кестеном и Кигманом (мультипликативный показатель Ляпунова) и Ротой и Стрэнгом (совместный спектральный радиус). Потом появились и другие. Существенный вклад был сделан в работах Тутубалина, Оселедца, Барабанова, Козякина, Владимирова, и др. Данные характеристики замечательны разнообразием приложений: от функционального анализа до теории чисел и дискретной математики. А также сложностью их вычисления даже в малых размерностях. Последнее объясняется рядом негативных результатов об алгоритмической сложности задачи, полученных Блонделем и Цициклисом. Тем не менее, совсем недавно были разработаны методы, которые для большинства семейств матриц эффективно вычисляют спектральные характеристики и даже находят их точные значения. Каждый из этих методов имеет серьезную теоретическую базу. Мы обсудим основные идеи и подходы, а также сформулируем рад открытых задач.