Неустойчивые по Ляпунову аттракторы

Глобальный аттрактор — это наименьшее замкнутое подмножество, притягивающее большинство точек фазового пространства. Чтобы получить из этой общей идеи настоящее определение, нужно уточнить значения слов «притягивать» и «большинство точек». Примером такого определения может служить аттрактор Милнора — наименьшее по включению замкнутое подмножество фазового пространства, содержащее омега-предельные множества почти всех по мере Лебега точек.
Изначально аттрактором называли инвариантное (обычно собственное и непустое) замкнутое подмножество, являющееся пересечением образов своей поглощающей (т.е. отображающейся внутрь себя) окрестности. Примером может служить притягивающая неподвижная точка. Такие аттракторы автоматически оказываются устойчивыми по Ляпунову, но существуют не для всех диффеоморфизмов. В отличие от этих «локальных» аттракторов, аттрактор Милнора существует для любого диффеоморфизма замкнутого многообразия, но может быть неустойчив по Ляпунову, т.е. может случиться так, что в любой окрестности аттрактора найдется точка, которая под действием итераций отображения убегает далеко от аттрактора. Одиночный пример неустойчивого по Ляпунову аттрактора построить очень легко, а вот существует ли открытое множество диффеоморфизмов с неустойчивыми аттракторами — открытый вопрос.
Будет рассказано, что неустойчивость аттракторов Милнора по Ляпунову является локально топологически типичным феноменом, то есть наблюдается на остаточных подмножествах некоторых областей пространства диффеоморфизмов. Эта неустойчивость часто сопровождает так называемое явление Ньюхауса — совместное существование счетного числа притягивающих периодических орбит (стоков).
Недавно построенный Пьером Берже пример сосуществования бесконечного числа стоков при всех значениях параметров в локально топологически типичных конечно-параметрических семействах также показывает (если внимательно к нему присмотреться), что существуют локально топологически типичные семейства, состоящие из диффеоморфизмов с неустойчивыми аттракторами Милнора.