Циклические $q$-цепочки Дарбу

Под $q$-цепочкой Дарбу мы понимаем последовательность разностных операторов $A_j$ связанных соотношением $A_j A^+_j=qA^+_{j-1}A_{j+1}+\alpha_j$, где $\alpha+j$ — некоторые константы. Такая цепочка является естественным разностным аналогом одевающей цепочки — системы нелинейных дифференциальных уравнений, исследованной А. П. Веселовым и А. Б. Шабатом в начале 90-х годов прошлого века. Известно, что одевающая цепочка сводится к уранениям Пенлеве и их высшим аналогам, а в самом простейшем случае — к гармоническому осциллятору.
Рассмотрение разностных операторов дает возможность изучать различные способы циклического замыкания $q$-цепочки; цепочки длины 1 и 2 сводятся к различным моделям $q$-осциллятора, появившимся в литературе также в начале 90-х годов.
Оказывается, что оператор $L_j=A_j A_j^+$ циклической $q$-цепочки имеет число дискретный спектр и его собственные функции образуют полное семейство в пространстве $L_2(\mathbb Z)$ квадратично суммируемых последовательностей. Показано, что для цепочек длины 1 и 2 имеет место сходимость к непрерывной модели.