Когомологии симметрических степеней CW комплексов и Римановых поверхностей

Доклад основан на arXiv препринтах автора 1502.01862v2 и 1606.00453v2. <br> Симметрическая степень Хаусдорфова пространства X есть факторпространство Sym^nX:=X^n/S_n. Когомологиям симметрических степеней посвящены работы Дольда, Тома, Накаоки, Мильграма, Макдональда и многих других математиков. Фундаментальный факт состоит в том, что рациональное кольцо когомологий H^*(Sym^nX;Q) симметрической степени есть достаточно простой функтор от исходного кольца H^*(X,Q) (для связных CW комплексов X конечного гомологического типа). <br> В первой части доклада будет представлена теорема автора, утверждающая, что кольцо H^*(Sym^nX;Z)/Tor есть функтор от кольца H^*(X;Z)/Tor (для связных CW комплексов X конечного гомологического типа). Более того, будет дано явное описание этого функтора. Нетривиальность этого факта состоит в том, что функтор H^*(-;Z)/Tor более тонкий, чем H^*(-;Q): существуют многообразия без кручения в когомологиях, имеющие изоморфные рациональные кольца когомологий и неизоморфные целочисленные кольца когомологий. <br> Вторая часть доклада будет посвящена симметрическим степеням Римановых поверхностей. Есть простой факт: симметрическая степень Sym^n M^m многообразия M^m есть многообразие тогда и только тогда, когда m=2. Более того, структура Римановой поверхности на M^2 индуцирует структуру комплексного многообразия на Sym^n M^2. <br> Пусть даны две компактные Римановы поверхности M^2_g и M^2_g'. Тогда если g не равно g', то замкнутые многообразия Sym^n M^2_g и Sym^n M^2_g' гомотопически неэквивалентны (у них разные pi_1). Пусть теперь даны две компактные Римановы поверхности с проколами M^2_{g,k} и M^2_{g',k'}. Тогда открытые многообразия Sym^n M^2_{g,k} и Sym^n M^2_{g',k'} гомотопически эквивалентны iff 2g+k=2g'+k'. В 2003 году сербскими математиками Благоевичем, Груичем и Живалевичем была сформулирована следующая <br> Гипотеза. Пусть 2g+k=2g'+k' и g не равно g'. Тогда открытые многообразия Sym^n M^2_{g,k} и Sym^n M^2_{g',k'} негомеоморфны. <br> До препринта автора 1606.00453v2 (июнь 2016), эта гипотеза была доказана только в случае n<=2max{g,g'}. В указанном препринте автором было получено полное доказательство этой гипотезы.