Интегрируемые полиномиальные динамические системы, задаваемые алгебраическими кривыми

Самыми известными из систем, о которых будет идти речь в докладе, являются динамические системы, приводящие к иерархии Кортевега-де Фриза (см. работы С. П. Новикова и его школы). Эти системы задаются гиперэллиптическими кривыми $V$ рода $g>0$. Используя отображение Абеля–Якоби для $g$-й симметрической степени кривой $V$, можно в явном виде записать эти решения в многомерных аналогах функций Вейерштрасса — базисных мероморфных функциях на якобианах кривых $V$ (см. цикл работ В. М. Бухштабера, В. З. Энольского и Д. В. Лейкина).
В наших недавних работах с А. В. Михайловым развит метод построения полиномиальных динамических систем на основе $k$-х симметрических степеней кривой $V$ ($k$ не обязательно равно $g$). Для $k=2$ дана явная реализация этого метода и описана алгебра Ли дифференцирований решений по параметрам кривой. Этот метод привел к задаче: найти решения построенных динамических систем в функциях на $C^g$, которые при $k<g$ не являются $2g$-периодическими, но ограничение этих функций на образ отображения Абеля–Якоби для $k$-й симметрической степени кривой рода $g$ является $2g$-периодическим.
В докладе в явном виде будут представлены интегрируемые полиномиальные динамические системы на $C^4$, построенные на основе симметрических квадратов гиперэллиптических кривых рода $g>0$. При $g=1$ будет описано решение в классических функциях Вейерштрасса. При $g=2$ будет описано решение в двумерном аналоге функций Вейерштрасса, а также приведена алгебра Ли дифференцирований этих функций по параметрам кривой, полученная в недавней работе автора. При $g=3$ описано решение в мероморфных функциях на сигма дивизоре гиперэллиптической кривой рода 3, полученное в недавней работе автора и Takanori Ayano.