Янгиан супералгебры Ли и вычисление универсальной $R$-матрицы

Янгиан $Y(g)$ алгебры (супералгебры) Ли $g$ является квуантованием универсальной обертывающей алгебры биалгебры (бисупералгебры) Ли полиномиальных токов $g[t]$ со структурой коалгебры (косупералгебры) Ли, определяемой классической $r$-матрицей Янга. Янгиан является так называемой псевдотреугольной алгеброй Хопфа. Именно, как показал В. Г. Дринфельд, существует формальный ряд $R(\lambda)=\sum_{k=0}^{\infty} R_k \lambda^{-k-1}$, $R_k\in Y(g)\otimes Y(g)$, сплетающий, сдвинутые коумножение $\Delta$ и противоположное коумножение $\Delta^{op}$. Этот формальный ряд называется универсальной $R$-матрицей янгиана и играет большую роль в приложениях теории квантовых алгебр в математической физике и квантовой теории поля. До сих пор не было известно точной формулы для $R(\lambda)$, хотя весь необходимый для их получения аппарат был развит в последние годы. В докладе пойдет речь о вычислении такой формулы для янгиана супералгебры Ли типа $A(m,n)$. При этом центральную роль будут играть конструкция квантового дубля янгиана и вычисление универсальной $R$-матрицы для дубля янгиана. Универсальная $R$-матрица янгиана будет получена из универсакльной $R$-матрицы дубля действием некоторого сдвига по одному из тензорных сомножителей, который переводит образующие двойственной к янгиану алгебры Хопфа в двойственные образующие янгиана.