О полиномиально интегрируемых плоских бильярдах

Алгебраическая версия знаменитой гипотезы Бирхгофа (частично исследованная С.В.Болотиным, А.Е.Мироновым, М.Бялым) утверждает, что если бильярд в выпуклой области на плоскости имеет нетривиальный первый интеграл, полиномиально зависящий от вектора скорости (и не выражающийся через модуль скорости), то граница бильярдной области является эллипсом. С.Л.Табачников высказал и частично исследовал аналогичную гипотезу о внешних бильярдах. А именно, рассмотрим выпуклую кривую и отображение ее внешности в себя, заданное следующим образом: проведем из точки $А$ прямую, касающуюся кривой, и переведем точку $А$ в центрально-симметричную ей относительно точки касания. Гипотеза Табачникова состояла в том, что если описанное преобразование имеет полиномиальный первый интеграл, то рассматриваемая кривая является эллипсом. Мы представим ее решение (совместный результат с Е.И.Шустиным) и текущие результаты о гипотезе Бирхгофа для классических бильярдов. Их доказательства используют идеи и методы комплексной теории особенностей и алгебраической геометрии.