О проблемах Уитни для пространств Соболева

Проблема Уитни для пространств Соболева $W_{p}^{m}$ состоит в характеризации следа пространства Соболева на произвольном замкнутом множестве. Эта проблема известна уже более 50 лет. Полное решение в случае $p > n$, $m=1$ получено П. Шварцманом лишь в 2009 году. Близкие задачи также рассматривались Ч. Фефферманом (и его соавторами) начиная с 2012 года. В докладе мы планируем рассказать о недавних результатах, которые получены автором совместно с С. К. Водопьяновым в 2016 году. Наши результаты дают решение проблемы Уитни для так называемых $d$-толстых множеств в случае $p > n-d$. В частности, при $p > n-1$ мы получаем внутренне описание следа пространства Соболева $W_{p}^{1}$ на замыкании любой области в $\mathbb{R}^{n}$.