Мультипликативные свойства непрерывного аналога базиса Кричевера–Новикова

Доклад посвящен приложениям наших результатов о законах сложения на якобианах плоских алгебраических кривых (см. тезисы докладов 15 декабря 2004 г. и 09 февраля 2005 г.). Как следствие, мы дадим описание мультипликативной структуры непрерывного аналога базиса Кричевера–Новикова в терминах этих законов.
Пусть $V$ плоская алгебраическая кривая рода $g$ и $R(V)$ — поле ее рациональных функций. Дана явная конструкция семейства функций Бейкера–Ахиезера $\Phi(P,u)$ с одной существенно особой точкой на кривой, где $P$ — точка кривой $V$, а $u$ — точка её якобиана $\mathrm{Jac}(V)$. Показано, что порожденный этими функциями $R(V)$-модуль является коммутативной алгеброй с умножением $\Phi(P,u)\Phi(P,v)=r(P,u,v,u+v)\Phi(P,u+v)$, где $r(P,u,v,u+v)$ — при фиксированных $u$ и $v$, рациональная функция на кривой, числитель которой — полином с $3g$ нулями на $V$, задающий сумму точек $u$ и $v$, а знаменатель — полином с $2g$ нулями на $V$, задающий точку, обратную к $(u+v)$. При $u=xe$ и $v=ye$, где $e$ — выделенный координатный орт на якобиане $\mathrm{Jac}(V)$, а $x$ и $y$ — комплексные числа, получается семейство функций Бейкера–Ахиезера, введённое П. Г. Гриневичем и С. П. Новиковым в качестве непрерывного аналога базиса Кричевера–Новиков.