Суперинтегрируемые бертрановы натуральные механические системы

Задача поиска “суперинтегрируемых” систем (т.е. систем с замкнутыми траекториями в некоторой области) в классе натуральных механических систем, инвариантных относительно вращений, восходит к работам Бертрана и Дарбу. Системы “типа Бертрана” при разных ограничениях были описаны Бертраном (1873), Дарбу (1877), Перликом (1992), Бессе (1978), авторами и Загрядским (2011), авторами (2015). Однако в полной общности вопрос оставался открытым из-за так называемой “проблемы экваторов”. В оставшемся трудном случае с экваторами мы описываем все натуральные механические системы Бертрана, а также решаем вопрос о связи между разными классами систем “типа Бертрана” (самый широкий класс “локально бертрановых” систем, класс систем Бертрана, узкий класс “сильно бертрановых” систем и т.п.), которые совпадают в изученном ранее случае конфигурационных многообразий без экваторов. В частности, мы показываем, что “сильно бертрановы” системы образуют тощее подмножество в множестве систем Бертрана, а системы Бертрана - тощее подмножество в множестве “локально бертрановых” систем.
Ключевые слова: суперинтегрируемые системы Бертрана, конфигурационное многообразие вращения, экватор, поверхность Таннери, принцип Мопертюи.