О формуле Герберта с локальными коэффициентами и ее приложениях

В работах, связанных с теорией погружений, часто используется теорема Герберта. Она состоит в следующем. Рассмотрим гладкое замкнутое многообразие $N$ размерности $n-k$ и его погружение $g:N^{n-k}\looparrowright \R^n$, трансверсальное вдоль самопересечения. Тогда многообразие
$$ \bar L = \{(x,y)\in N\times N\;|\; x\ne y, g(x)=g(y)\} $$
естественным образом погружается в $N$: $i_{\bar L}: \bar L \subset N\times N \stackrel{pr_1}{\to} N$. Рассмотрим также нормальное расслоение $\nu(g)$ к погружению $g$. Предположим, что $N$ ориентировано. Снабдим $\nu(g)$ и $\bar L$ соответствующими ориентациями. Класс, двойственный в $N$ классу Эйлера расслоения $\nu(g)$, называется гомологическим эйлеровым классом и обозначается $e_*(\nu(g))$. Тогда в группе $H_{n-2k}(N,\Z)$ выполняется равенство (формула Герберта)
\begin{equation}\label{eq:herbert} (i_{\bar L})_*([\bar L]) + e_*(\nu(g))=0. \end{equation}

Если многообразие $N$ неориентируемо, то равенство (\ref{eq:herbert}) выполняется, если все группы (ко)гомологий рассматривать с коэффициентами в $\Z_2$.
Оригинальная работа Герберта посвящена $k$-кратным самопересечениям погружения. Имеется ряд обобщений той формулы, равно как и работ, посвященных разным подходам к доказательству результатов Герберта (Экклз, Грант)
В докладе мы обсудим одно из важных обобщений формулы Герберта для двукратных самопересечений на случай, когда нормальное расслоение к $g$ имеет дополнительную структуру, а также одно из возможных применений этой формулы.