Вокруг гипотезы о средней ширине правильного симплекса

Как расположить $n+1$ точку на $(n-1)$-мерной сфере, чтобы средняя ширина их выпуклой оболочки была максимальна? Старая гипотеза утверждает, что для этого точки должны располагаться в вершинах правильного симплекса. Данный вопрос является на удивление сложным. Несколько авторов предположили наличие доказательства, но гипотеза все еще является открытой, даже в малых размерностях. Кроме естественной формулировки с точки зрения выпуклой геометрии, данная задача имеет важное значение в теории информации, поскольку тесно связана с так называемой Simplex code conjecture. Также данная гипотеза имеет интересную вероятностную интерпретацию на языке гауссовских случайных величин. В докладе мы обсудим эти вопросы более подробно, а также поговорим о схожих задачах, многие из которых тоже являются открытыми.