Новый взгляд на когомологии узлов: от «физической» модели к альтернативе конструкции Хованова — Рожанского

Я расскажу об альтернативной конструкции для вычисления полиномов Хованова, предложенной в работе Д. Галахова и Г. Мура https://arxiv.org/abs/1607.04222, по мотивам одной из недавних работ Э. Виттена https://arxiv.org/abs/1108.3103. На семинаре мы проделаем соответствующие вычисления «от начала до конца» в простейших примерах, вводя по ходу изложения основные необходимые понятия — и тем самым проиллюстрируем предлагаемую нами формулировку обсуждаемой конструкции.
Полиномы Хованова суть топологические инварианты, связанные с таким понятием, как когомологии узла. Для вычисления этих полиномов существует стандартная конструкция https://arxiv.org/abs/math/9908171 (см. также обзор https://arxiv.org/abs/1208.4994, https://arxiv.org/abs/1209.5109), позволяющая весьма эффективное явное вычисление этих инвариантов https://arxiv.org/abs/math/0201043 (значения полиномов Хованова – по крайней мере, для нескольких тысяч «простейших» узлов и зацеплений – содержатся в стандартных таблицах: http://katlas.org, http://knotebook.org).
Конструкция Галахова — Виттена — Мура сформулирована на языке «физической модели», а вычисление полинома Хованова ассоциируется авторами статьи с исследованием асимптотик определенных «амплитуд рассеяния» в квазиклассическом пределе. Мы пытаемся сформулировать представленную конструкцию более алгоритмически: в терминах «разрешенных» преобразований диаграммы зацепления (которые, возможно, стоит рассматривать в качестве аналогов движений Рейдемейстера).
Явно проигрывая стандартной конструкции Хованова в вычислительной эффективности, предложенный формализм представляется чрезвычайно перспективным с точки зрения обобщения на случай полиномов Хованова — Рожанского (на языке «физической модели» — на случай калибровочной группы $SU_N$ — в опубликованной версии конструкции Галахова — Мура $N=2$). Для вычисления этих (существенно более сложных) инвариантов зацеплений до сих пор нет достаточно прозрачной и конструктивной процедуры, которая позволяла бы систематически исследовать свойства этих величин, а также продвинуться в их явном вычислении дальше простейших случаев (на данный момент в этом направлении наиболее преуспели Каркевиль и Мерфет – см.https://arxiv.org/abs/1108.1081 — которые, судя по всему, достигли «потолка» возможностей известных методов).
В последние годы наша научная группа предприняла поиски альтернативы стандартной конструкции Хованова — Рожанского (https://arxiv.org/abs/1308.5759, https://arxiv.org/abs/1403.8087) — однако заметно продвинуться в этом направлении (по моим впечатлениям) не удалось. Статья https://arxiv.org/abs/1607.04222 и частные обсуждения с первым автором вдохновили новые поиски: путь выглядит удивительно заманчивым…