Ориентированные матроиды и формула Гельфанда–МакФерсона для рациональных классов Понтрягина

В 1975 году в работе А. М. Габриэлова, И. М. Гельфанда и М. В. Лосика впервые была построена комбинаторная формула для первого класса Понтрягина. Эта формула позволяла по гладкой триангуляции многообразия строить рациональный симплициальный цикл, класс гомологий которого двойствен по Пуанкаре первому классу Понтрягина данного многообразия. Ключевым моментом в построении формулы Габриэлова–Гельфанда–Лосика является изучение так называемых пространств конфигураций, которые можно трактовать как пространства симплициальных вееров в векторном пространсве с заданным комбинаторным типом. Сложность этих пространств очень сильно возрастает при увеличении размерности векторного пространства, поэтому попытки построить аналогичные формулы для старших классов Понтрягина наталкивались на непреодолимые технические трудности.
Комбинаторные формулы для старших классов Понтрягина были построены в 1992 году И. М. Гельфандом и Р. МакФерсоном. Основной идеей, лежащей в основе этих формул, является использование вместо конфигураций векторов их комбинаторных аналогов — ориентированных матроидов. В дальнейшем, Р. МакФерсон и другие авторы применили теорию ориентированных матроидов для построения новой категории так называемых CD-многообразий. CD-многообразие — это псевдомногообразие, снабженное некоторыми комбинаторными структурами. Оказывается, что CD-многообразия обладают многими свойствами, похожими на свойства гладких расслоений. В частности, для CD-многообразий определены все те же характеристические классы, что и для гладких многообразий, в том числе, целочисленные классы Понтрягина.
В докладе будет дано краткое введение в теорию ориентированных матроидов и CD-многообразий, после чего будет построена формула Гельфанда-МакФерсона.