Деление на два на эллиптических кривых и гиперэллиптических якобианах

Первая (совершенно элементарная) часть доклада, основанная на совместной работе Б.М. Беккера и докладчика, посвящена известному критерию делимости на $2$ точек на эллиптической кривой над числовым полем. (Этот критерий является существенным ингредиентом доказательства слабой теоремы Морделла-Вейля и фактического построения конечного множества точек, порождающего всю группу Морделла-Вейля эллиптической кривой.) Наш подход, несколько менее вычислительный чем традиционно излагающиеся в учебниках, позволяет в некоторых случаях явно выписать уравнения для версальных семейств эллиптических кривых, содержащих данную конечную группу, все элементы которой определены над основным полем. Получаемые уравнения несколько проще тех, которыми заданы семейства Д. Куберта (хоть и эквивалентны им).
Во второй части доклада я объясню, как поделить на $2$ точку гиперэллиптической кривой в соответствующем якобиане (при этом предполагается, что ноль группового закона отождествляется с одной из точек Вейерштрасса). Будут даны явные формулы для соответствующих координат Мамфорда. Кроме того, мы обсудим точки конечного порядка на некоторых естественно возникающих подмногообразиях гиперэллиптических якобианов над полем комплексных чисел.