Exponential sums in the depth aspect

Многие принципиальные проблемы, связанные с аналитикой $L$ -функций, такие как нахождение “сверхвыпуклых” оценок (т.е. оценок их модулей, более точных, чем те, что напрямую следуют из функционального уравнения и применения стандартных средств комплексного анализа), вычисление моментов, необращение в нуль этих функций в критических точках (вещественных точках критической прямой), сводятся к оценкам соответствующих тригонометрических сумм. В настоящем докладе мы расскажем о новых оценках коротких тригонометрических сумм с фазой, содержащей $p$ -адический сдвиг. В качестве приложений будут получены “сверхвыпуклые” оценки для $L$ -рядов Дирихле и скрученных модулярных $L$ -функций с характерами по модулю, равному высокой степени простого числа, которые являются такими же по силе, как и соответствующие оценки "по $t$".
С точки зрения аделей, аналогия между этим так называемым "$p$ -адическим" аспектом и более привычным "$t$ -аспектом" оказывается вполне естественной, если делать акцент на разветвлении в одной (конечной иди же бесконечной) точке. Среди применяемых нами средств – $p$ -адический аналог разбиения Фарея, круговой метод и оценки ван дер Корпута. Некоторые из представленных результатов заимствованы из нашей совместной работы с В. Бломером.