On Lagrange algorithm for reduced algebraic irrationalities

В 2015 году нами была доказана теорема, что для вычисления очередного неполного частного разложения алгебраического числа в цепную дробь достаточно вычисления двух значений минимального многочлена соответствующей остаточной дроби. В данном докладе мы доказываем аналогичный результат, но с заменой минимального многочлена остаточной дроби на минимальный многочлен исходного алгебраического числа.
Введем следующие обозначения
$$ \delta(\alpha)\,=\,\min_{2\le j\leqslant n}\left|\alpha^{(1)}\,-\,\alpha^{(j)}\right|>0, $$
так как все корни различные.
Теорема. Пусть $\alpha=\alpha_{0}$ — вещественный корень неприводимого целочисленного многочлена
$$ f_{0}(x)\,=\,a_{n}x^{n}\,+\,a_{n-1}x^{n-1}\,+\,\ldots\,+\,a_{1}x\,+\,a_{0}\,\in \mathbb{Z}[x],\quad a_{n}\,>\,0, $$
$\alpha=\alpha^{(1)}$, $\alpha^{(2)}$, ..., $\alpha^{(n)}$ – его корни, и число $\alpha$ имеет разложение в цепную дробь
$$ \alpha\,=\,\alpha_{0}\,=\,q_{0}\,+\,\cfrac1{q_{1}\,+\,\cfrac{1}{\ddots+\cfrac{1}{q_{k}+\cfrac{1}{\ddots}}}}\,. $$
Пусть номер $m_{0}=m_{0}(\alpha,\varepsilon)$ определен из неравенства
\begin{equation*} \frac{2(n-1)}{Q_{m_0-1}\delta(\alpha) }\,<\,\varepsilon, \end{equation*}
тогда для любого $m>m_{0}$ справедливы равенства $q_{m}\,=\,q_{m}^{*}$, если
$$ (-1)^{m}f_{0}\left(\frac{q_{m}^{*}P_{m-1}+P_{m-2}}{q_{m}^{*}Q_{m-1}+Q_{m-2}}\right)\!>\!0\quad \text{и}\quad (-1)^{m}f_{0}\left(\frac{(q_{m}^{*}+1)P_{m-1}+P_{m-2}}{(q_{m}^{*}+1)Q_{m-1}+Q_{m-2}}\right)\!<\!0, $$
$q_{m}\,=\,q_{m}^{*}+1$, если
$$ (-1)^mf_{0}\left(\frac{(q_{m}^{*}+1)P_{m-1}+P_{m-2}}{(q_{m}^{*}+1)Q_{m-1}+Q_{m-2}}\right)>0, $$
$q_{m}\,=\,q_{m}^{*}-1$, если
$$ (-1)^mf_{0}\left(\frac{q_{m}^{*}P_{m-1}+P_{m-2}}{q_m^*Q_{m-1}+Q_{m-2}}\right)<0, $$
где
\begin{equation*} q_{m}^{*}\,=\,\left[\frac{f'_{0}\left(\frac{P_{m-1}}{Q_{m-1}}\right)}{Q_{m-1}^2 \left|f_{0}\left(\frac{P_{m-1}}{Q_{m-1}}\right)\right|}-\frac{Q_{m-2}}{Q_{m-1}}\right]. \end{equation*}