Теорема о декомпозиции и разделении и ее приложения

Пусть $S$ конечное множество, $P$ стохастическая матрица и $U=((Z_n))$ семейство конечных Марковских цепей (МЦ) задаваемых $S,P$ и всеми возможными начальными распределениями. Поведение этого семейства — это классические результаты Теории Вероятностей, полученные в 30-х годах прошлого века А. Н. Колмогоровым и В. Деблиным.

Если стохастическую матрицу $P$ заменить на последовательность стохастических матриц $(P_n)$ и переходы в момент $n$ задавать с помощью матрицы $P_n$, то $U$ превращается в семейство неоднородных МЦ. Возможно ли что-либо сказать о поведении этого семейства если нет никаких предположений о последовательности $(P_n)$? В алгебраических терминах этот вопрос эквивалентен такому. Не зная ничего о последовательности $(P_n)$, можно ли что-нибудь сказать о пределе $\prod_{i=k}^{n}P_i$ когда $n$ стремится к бесконечности?

Как ни странно, но ответ на этот вопрос — да, сказать можно. Это поведение описывается Теоремой о Декомпозиции и Разделении (ДР). Она была начата маленькой заметкой A. Н. Koлмогорова (1936), а потом формулирована и доказана в серии статей D. Blackwell (1945), H. Cohn (1971, 1989), (Десомпозиция) and I. Sonin (1987, …, 2008), Разделение).

Недавно эта теорема нашла применение в междисциплинарной области изучающей консенсусные алгоритмы. Консенсусные алгоритмы это алгоритмы ведущие к консенсусу. Наиболее изученными из них являются линейные (усредняющие), задаваемые стохастическими матрицами. Это приводит к изучению неоднородных МЦ в обратном времени.

ДР теорема является теоремой существования и она оставляет много вопросов открытыми. По-видимому, она допускает обобщение в других разделах математики, за пределами Теории Вероятностей.