Знак гауссовой суммы

Для нечетного $m$ пусть
$S_m=\Sigma_{x=^m} \cos(2\pi/m)x^2$,
если $m$ имеет вид $4k+1$, и
$S_m=\Sigma_{x=^m} \sin(2\pi/m)x^2$,
если $m=4k+3$. Тогда ${(S_m)}^2=m$. Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма $S_m$ всегда положительна, так что $S_m$ рано квадратному корню из $m$. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно “вспышке молнии”. Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье.
Курс рассчитан на 3–4 занятия. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены.