Аннотация:
Колчан – это просто ориентированный граф. Говорят, что задано представление колчана, если каждой вершине графа поставлено в соответствие линейное пространство, а каждому ребру – линейное отображение между соответствующими пространствами. Представления колчанов оказываются связанными с самыми разными областями математики – теорией представлений, гомологической алгеброй, алгебраической геометрией и т.д.
Естественная задача – классифицировать представления данного колчана. С этим связана теорема Габриэля, описывающая колчаны, чьи представления допускают наиболее простую классификацию. Это – колчаны, соответствующие диаграммам Дынкина без кратных ребер, диаграммы Дынкина встречаются в самых разных областях математики – теории алгебр Ли, теории особенностей и т.д.
Я сформулирую теорему Габриэля на первом занятии, здесь же укажу два частных случая:
Три прямые на плоскости, проходящие через одну точку, можно перевести в любые другие аффинным преобразованием. Для четырех прямых это не верно – имеется инвариант.
Классификация линейных отображений из одного векторного пространства в другое устроена очень просто – единственный инвариант – это ранг отображения. Классификация линейных отображений из линейного пространства в себя значительно сложнее – например, инвариантами являются собственные значения.
Программа курса
Представления колчанов.
Теорема Габриэля и диаграммы Дынкина.
Доказательство необходимости.
Обсуждение доказательства достаточности.
Я не знаю насколько полно мне удастся изложить доказательство достаточности. Тем не менее, я надеюсь, что смогу объяснить связь колчанов с различными интересными вещами. Возможно, удастся немного поговорить про теорию категорий и гомологическую алгебру.
Требования к слушателям: Предполагается, что слушатели знают что такое линейное (или векторное) пространство и что такое линейное отображение (или оператор).
Обратная связь: