Аннотация:
Субриманова структура на гладком многообразии $M$ есть векторное распределение $\Delta\subset TM$ с римановой метрикой $g$ на распределении $\Delta$.
Горизонтальные кривые суть липшицевы кривые в $M$, касающиеся распределения $\Delta$ почти всюду. Если $M$ связно, а алгебра Ли, порожденная распределением $\Delta$, задает все касательное расслоение $TM$, то любые точки в $M$ соединимы горизонтальной кривой (теорема Рашевского–Чоу).
Длина горизонтальной кривой есть интеграл от длины ее вектора скорости. Субримановым расстоянием (расстоянием Карно–Каратеодори) $d(q_0, q_1)$ между точками $q_0,q_1\in M$ называется нижняя грань длин всех горизонтальных кривых, соединяющих $q_0$ с $q_1$. Кратчайшая есть горизонтальная кривая, длина которой равна расстоянию между ее концами. Довольно слабые условия гарантируют существование кратчайшей между достаточно близкими точками $M$ (теорема Филиппова). Если же субримановы шары компактны, то в условиях теоремы Рашевского–Чоу любые точки $M$ соединимы кратчайшей.
Геодезическая есть горизонтальная кривая, малые дуги которой суть кратчайшие. Геодезические являются проекциями $T^*M\to M$ траекторий некоторой естественной гамильтоновой системы на $T^*M$ (принцип максимума Понтрягина).
В докладе будут затронуты следующие вопросы:
- левоинвариантные субримановы структуры на группах Ли,
- симметрийный метод поиска кратчайших,
- примеры исследованных левоинвариантных субримановых геометрий (трехмерные группы Ли, группа Энгеля, группа Картана),
- ограничения существующих методов (неинтегрируемость по Лиувиллю плоских субримановых структур глубины больше трех),
- приложения в механике, робототехнике, обработке изображений.
Обратная связь: