Аннотация:
Бильярд – это такая динамическая система, в которой одна (бильярдная) точка движется равномерно и прямолинейно в области до тех пор, пока не столкнется с краем области: тогда точка упруго отразится от края и продолжит свое равномерное и прямолинейное движение до следующего столкновения. Область движения бильярдной точки называется бильярдным столом. На занятиях мы обсудим геометрические, арифметические и физические следствия этого простейшего закона для различных бильярдных столов. В основном, кроме первого занятия, мы будем заниматься бильярдами на многоугольных столах и физическими задачами, сводящимися к бильярдам в многоугольниках.
Занятие 1. Три типа бильярдов: бильярды Биркгофа, Синая+ (Синая-Бунимовича), многоугольные бильярды. Конфигурационное и фазовое пространства, теорема Пуанкаре о возвращении. Периодические и всюду плотные бильярдные траектории. Задачи о шарах (задачи Синая), об освещении и из теории чисел.
Занятие 2. Бильярд в прямоугольнике и тор. Бильярд в угле и динамическая система для числа “пи” (Гальперин). Упругие столкновения частиц на прямой и полупрямой. “Малая” задача Синая (бильярд в многогранном угле) и ее сведение к бильярду на сфере.
Занятие 3. Бильярды в рациональных многоугольниках. Теория Катка-Землякова о рациональных многоугольниках и обмотках кренделей.
Занятие 4. Бильярды в треугольниках. Устойчивые и неустойчивые периодические траектории. Перпендикулярные траектории (Стёпин). Бифуркационная диаграмма периодических траекторий в треугольниках (Гальперин [Г]). Периодические орбиты в прямоугольных треугольниках (Cipra+Hanson+Kolan [CHK]) и их устойчивость (Гальперин+Д. Звонкин). Замыкание непериодической орбиты содержит вершину многоугольника (Бошерницан+Гальперин+Крюгер+Трубецкой).
Занятие 5. Бильярды с лузами и периодические траектории в них. Конечность числа типов периодических траекторий в таких бильярдах (Гальперин + Делман +Трубецкой [ГДТ]). “Плохая” (неустойчивая) оценка сверху числа этих типов в рациональных многоугольниках [ГДТ]. "Хорошая" (устойчивая и асимптотически точная) оценка сверху числа этих типов в _произвольном_ многоугольнике [ГД].
Обратная связь: