Суммы значений неглавных характеров в последовательности сдвинутых простых чисел

Впервые нетривиальную оценку суммы значений неглавного характера в последовательности сдвинутых простых чисел получил И.М. Виноградов. Он доказал: если $q$ – простое, $(l,q)=1$, $\chi$ – неглавный характер по модулю $q$, то
$$ T(\chi)\,=\,\sum_{p\leqslant x}\chi(p-l)\,\ll\,x^{1+\varepsilon}\left(\sqrt{\frac{1}{q}+\frac{q}{x}}\,+\,x^{-1/6}\right). $$
При $x\gg q^{1+\varepsilon}$ эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) $\pmod q$ вида $p-l$, $p\le x$. Наилучший результат здесь принадлежит А.А. Карацубе. В 1970 г. он доказал: если $q$ — простое, $\chi (a)$ – неглавный характер по модулю $q$, $x\ge q^{\,1/2+\varepsilon}$, то
$$ T_{1}(\chi)\,\ll\,xq^{-\,\varepsilon^{2}/1024}. $$
В 2013 г. автор для составного $q$ и примитивного характера $\chi_{q}$ Получил нетривиальную оценку $T(\chi_{q})$ при $x\geqslant q^{\,5/6+\varepsilon}$. В докладе будет представлена следующая новая теорема.
Теорема. Пусть $D$ – достаточно большое натуральное число, $\chi$ — неглавный характер по модулю $D$, $\chi_q$ – примитивный характер по модулю $q$, порожденный характером $\chi$, $q$ – свободное от кубов, $(l ,D)=1$. Тогда при $x\ge D^{\,1/2+\varepsilon}$ имеем:
$$ T(\chi)\,=\,\sum_{n\leqslant x}\Lambda(n)\chi(n-l)\,\ll\,x\exp{\bigl(-0.6\sqrt{\ln{D}}\bigr)}, $$
где постоянная под знаком $\ll$ зависит только от $\varepsilon$.